从振动到平稳：含润滑间隙转动副的多连杆机构动力学优化设计探索

在工业机械的世界中，几毫米的间隙往往决定着设备的命运。

多连杆机构作为现代装备的核心部件，由于制造公差和设计缺陷，其转动副间不可避免地存在间隙。

这些微小的空隙，虽经润滑油的缓冲，却仍会引发振动、噪声，甚至导致润滑油膜破裂和部件直接碰撞。

当机械精度每降低一分，其稳定性就会相应减弱十分。

山东科技大学的研究团队面对这一挑战，提出了一种全新的动力学优化设计方法，通过对二自由度七连杆机构的系统建模与优化，成功使滑块加速度降低25%，运动副间作用力减小近20%。

这种方法背后，隐藏着怎样的工程智慧？

间隙的双面性

在现代工业装备中，多连杆机构就像是机械世界的脊梁，支撑着各种复杂运动的实现。

无论是机器人的灵活臂膀，还是飞机的精密控制系统，甚至是日常生活中的各类机械设备，都能看到多连杆机构的身影。

这些看似简单的结构，却在高速、高精度运动中承担着关键角色。

然而，工程世界从不完美。

由于制造和设计过程中不可避免的误差，多连杆机构的运动副（就是机械中可以相对运动的连接部位）总会存在间隙。

这些间隙就像是机械的＂关节松动＂，看似微不足道，实则影响深远。

想象一下，一个精密的机械手臂，如果其关节处有0.1毫米的间隙，看似微不足道，但当机械高速运转时，这些间隙就会导致部件之间相互碰撞，产生振动和噪声。

更严重的是，这些振动会降低机械的定位精度，缩短设备寿命，甚至导致机械故障。

为了减少间隙带来的负面影响，工程师们通常会在转动副处添加润滑油。

润滑油就像是机械的＂关节润滑液＂，能够减小摩擦，缓冲冲击。

然而，这种解决方案并非完美无缺。

正如陈修龙等人在研究中指出的，润滑油虽然能在一定程度上缓冲运动副元素之间的碰撞，但在高速运转或重载条件下，润滑油膜可能会破裂，导致轴承和轴套直接接触，产生剧烈的碰撞和冲击。

国内外学者对多连杆机构的研究由来已久，但大多集中在不考虑间隙的理想状态下。

王一熙等人以动力学灵巧度和能量传递效率为指标，对3R并联机构进行了优化；蔡敢为等人利用粒子群算法改善了连杆式机器人的动态性能；WANG等人对平面三自由度并联机构的尺寸进行了优化，提高了机构的综合性能。

这些研究虽然取得了显著成果，但都忽略了实际工作中间隙的存在。

而考虑间隙影响的研究则相对较少。

ETESAMI等人通过多目标遗传算法优化了含移动副间隙的曲柄摇杆机构，减小了间隙对机构产生的振动力和振动力矩；BAI等人提出了一种针对平面四杆机构的优化设计方法，以减小间隙引起的不良振动；VAREDI等人利用粒子群算法对考虑转动副间隙的曲柄滑块机构进行了优化设计。

在这些研究基础上，对含转动副润滑间隙的平面多连杆机构动力学优化设计的研究显得尤为重要，但相关工作却极为有限。

特别是对于润滑间隙的处理，需要建立合适的油膜承载力模型。

转动副润滑间隙的建模核心在于理解油膜承载力。

当机械运转时，在转动副的间隙中，润滑油会形成一层油膜。

这层油膜的承载力取决于润滑油的黏度、压力、温度等因素。

较大的油膜承载力可以有效降低轴承内部的摩擦，避免金属表面直接接触，保证机械设备的精度和效率。

为描述这种复杂的物理现象，工程师们通常采用等温雷诺方程：

∂/∂x（h³/μ·∂p/∂x） + ∂/∂z（h³/μ·∂p/∂z） = 6U·∂h/∂x + 12·∂h/∂t

这个方程描述了流体在间隙中的压力分布，其中h是油膜厚度，μ是动力黏度，p是压力，x和z是坐标，U是相对切向速度，t是时间。

由于这是一个复杂的非齐次微分方程，直接求解相当困难。

为简化计算，工程师们会做一些假设，例如假设轴承为无限长轴承，这样方程就可以简化为：

∂/∂x（h³/μ·∂p/∂x） = 6U·∂h/∂x + 12·∂h/∂t

基于这些模型，PINKUS等人推导出了适用于运动副间隙处油膜承载力的表达式，为后续的动力学分析奠定了基础。

此外，在处理含润滑间隙的机构动力学时，还需要考虑润滑状态与接触状态之间的转换。

FLORES等人引入了偏心系数来改进间隙处的力模型，实现了干摩擦状态和润滑状态之间力的平滑过渡，以更准确地描述运动副元素之间的相互作用。

综合来看，含转动副润滑间隙的多连杆机构动力学建模是一个涉及多学科的复杂问题，需要结合流体力学、摩擦学和多体动力学等知识。

只有建立起准确的动力学模型，才能为后续的优化设计提供可靠基础，从而提高多连杆机构在实际工作中的性能和寿命。

动力学模型解析

要想解决含转动副润滑间隙的多连杆机构问题，首先需要建立一个准确的数学模型。

这就像是在画一张详细的地图，只有地图足够精确，才能找到通往目的地的最佳路径。

山东科技大学的研究团队以二自由度七连杆机构为研究对象，精心搭建了一套完整的动力学模型体系。

转动副润滑间隙的运动学模型是整个研究的基础。

在全局坐标系OXY中，我们可以看到轴承（用b表示）和轴（用a表示）这两个关键元素。

轴的质心相对于轴承质心的偏心距矢量可以表示为：

e = rMb - rMa

这个偏心距向量的单位矢量为：

n = e/|e|

偏心率则是轴承中心相对于轴中心的偏移量与间隙大小的比值：

ε = |e|/r = |e|/（Rb - Ra）

其中Rb和Ra分别是轴承和轴的半径。

偏移角代表偏心矢量方向与X轴正方向之间的角度：

γ = arctan（ey/ex）

当转动副带有润滑间隙时，运动副元素不会直接接触，而是通过润滑油膜进行力的传递。

这时，原本的接触力被油膜承载力所替代。

油膜承载力取决于润滑油的黏度、压力和温度等因素，较大的油膜承载力可以有效降低轴承内部的摩擦，避免金属表面直接接触。

等温雷诺方程是描述转动副间隙中流体压力分布的基本方程。

在简化条件下，该方程可以写成：

∂/∂x（h³/μ·∂p/∂x） = 6U·∂h/∂x + 12·∂h/∂t

当轴承的长径比大于2时，可以假设轴承为无限长轴承，进一步简化计算。

基于Gümbel边界条件，PINKUS等人推导出了适用于运动副间隙处油膜承载力的表达式。

当径向速度ε̇ ≥ 0时，法向油膜承载力FLN和切向油膜承载力FLT分别为：

FLN = -6μlR³bL/r²·（4kε²/（2+ε²） + π·（k+3）/（k+1.5））·ε̇/（1-ε²）^1.5

FLT = 6μlR³bL/r²·（k+3）/（k+1.5）·πε（ω-2γ̇）/（（2+ε²）（1-ε²）^0.5）

其中k = （1-ε²）［（ω-2γ̇）/（2ε̇））² + 1/ε²］

当径向速度ε̇ < 0时，法向和切向的油膜承载力表达式略有不同：

FLN = -6μlR³bL/r²·（4kε²/（2+ε²） - πk/（k+1.5））·ε̇/（1-ε²）^1.5

FLT = 6μlR³bL/r²·k/（k+1.5）·πε（ω-2γ̇）/（（2+ε²）（1-ε²）^0.5）

在实际工作中，轴的质心通常非常接近轴承质心，这会导致偏心率ε趋于0，可能引起数值求解结果突变。

因此，需要对模型进行修正：

FmN = ｛ FLN， ε₀ ≤ ε < 1

｛ εᵐFLN， 0 < ε < ε₀

FmT = ｛ FLT， ε₀ ≤ ε < 1

｛ εᵐFLT， 0 < ε < ε₀

其中ε₀是大于0的常数，m是修正系数（取值范围0~5）。

间隙处的油膜承载力在X向和Y向的分量可以通过三角分解获得：

FX = FmNcosγ - FmTsinγ

FY = FmNsinγ + FmTcosγ

在机构运动过程中，润滑间隙运动副的状态可能会发生变化。

为了准确描述这种状态转换，FLORES等人引入了偏心系数E₀来改进间隙处的力模型，实现干摩擦状态和润滑状态之间力的平滑过渡：

Fc = ｛ FL， |e| < r

｛ FL + （|e|-r）/E₀·（FD-FL）， r ≤ |e| ≤ r+E₀

｛ FD， |e| > r+E₀

基于上述的转动副润滑间隙模型，研究团队进一步构建了完整的七连杆机构动力学模型。

这个二自由度七连杆机构由机架、曲柄1、曲柄4、连杆2、连杆3、连杆6和滑块7组成。

两个曲柄的一端固定在机架上，另一端与连杆通过设有驱动电机的转动副连接。

曲柄1处的驱动电机作为主动力源，曲柄4处的驱动电机则对主要运动进行调节和控制。

间隙A位于驱动曲柄1和连杆2的转动副处，间隙B位于驱动曲柄4和连杆3的转动副处。

在这两处转动副间隙中添加润滑剂，并确保转动副的密封良好。

由于驱动曲柄处的间隙对机构运行影响较大，因此将转动副间隙A和B作为优化的重点。

应用参考点坐标法，研究团队建立了全局坐标系和各活动构件质心处的局部坐标系。

该机构共有6个活动构件，含润滑间隙七杆机构的广义坐标为：

q = （x₁， y₁， θ₁， x₂， y₂， θ₂， …， x₄， y₄， θ₄， x₆， y₆， θ₆， x₇， y₇， θ₇）

考虑转动副A、B处的润滑间隙时，这两处运动副的约束减少4个，因此含润滑间隙七杆机构有14个约束方程。

通过对这些约束方程对时间求导，可以得到速度约束方程和加速度约束方程。

最终，基于Lagrange乘子法，研究团队建立了系统的刚体动力学方程：

Mq̈ + λΦᵀq = g

其中M为系统的质量矩阵，λ为Lagrange乘子，g为系统广义力，包括系统的惯性力和间隙运动副产生的运动副元素之间的作用力，以及油膜承载力组成的平均混合过渡力。

联立加速度约束方程和动力学方程，并采用Baumgarte违约稳定算法，最终得到含润滑间隙七杆机构的刚体动力学方程：

［M Φᵀq］ ［q̈］ = ［g］

［Φq 0 ］ ［λ］ ［γ-2αΦ̇-β²Φ］

这个完整的动力学模型为后续的优化设计奠定了坚实基础，使研究团队能够深入分析含转动副润滑间隙机构的动力学特性，并有针对性地进行改进和优化。

优化策略探索

建立了含转动副润滑间隙的动力学模型后，下一步就是如何提升机构的性能。

就像医生找到病因后要开出合适的处方一样，工程师们需要确定最佳的＂处方＂来改善机构的动力学特性。

山东科技大学的研究团队开发了一套系统的优化方法，通过精心设计的目标函数、合理选择的设计变量和高效的优化算法，为＂病＂机构找到了最佳＂疗法＂。

首先，团队需要确定优化的目标。

运动副间隙会使机构的稳定性、动态响应和精度受到不利影响。

因此，在保证机构基本功能的前提下，需要选择合适的指标来评价优化效果。

研究团队提出了两个关键的目标函数：

目标函数1关注末端执行器的性能。

滑块作为二自由度七连杆机构的末端执行器，其运动学特性至关重要。

加速度是连接机构运动学和动力学的桥梁，与系统的受力密切相关。

因此，将滑块加速度的最大值最小化作为第一个优化目标：

F₁ = ‖aH‖∞

其中aH代表滑块加速度。

这个目标函数旨在减小滑块的加速度峰值，使机构运动更加平稳，减少振动和冲击。

目标函数2则聚焦于转动副间隙处元素之间的相互作用。

在研究团队建立的转动副润滑间隙运动学模型中，当|e|<r时，运动副元素之间的作用力为润滑状态下的油膜承载力；当|e|>r+E₀时，运动副元素之间的作用力为干摩擦状态下的接触力；当r≤|e|≤r+E₀时，运动副元素之间的作用力为接触力和油膜承载力的混合力。

这些作用力是引起机构动力学响应波动的主要原因，因此团队将两个润滑间隙处的运动副元素之间的作用力最大值之和最小化作为第二个优化目标：

F₂ = wA·‖FA‖∞ + wB·‖FB‖∞

其中，wA和wB是控制本地开发和全局探索之间平衡的加权因子，均取0.5；FA和FB分别是间隙A和间隙B处的运动副元素之间的作用力。

确定了目标函数后，研究团队需要选择合适的设计变量。

含润滑油的转动副间隙A位于曲柄1与连杆2之间、间隙B位于曲柄4与连杆3之间，因此润滑间隙处运动副元素之间的作用力直接影响连杆2和曲柄4。

滑块作为末端执行器，直接影响整个机构的运动特性。

考虑到构件的质量和转动惯量是影响动力学响应的关键因素，动力黏度是衡量润滑特性的重要参数，研究团队选择连杆2、曲柄4的质量和转动惯量，滑块的质量，以及40℃下的动力黏度μl作为优化变量：

Xc = ［m₂ J₂ m₄ J₄ m₇ μl］ᵀ = ［x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆］ᵀ

每个设计变量都有一定的约束范围。

如表1所示，质量的下限是原始值的一半，上限是原始值的两倍；转动惯量的下限是回转轴过杆质心的计算结果，上限是回转轴过杆端点的计算结果；动力黏度的范围是0.05~0.6 Pa·s。

这些约束确保了优化结果的实际可行性。

接下来，研究团队详细制定了求解流程。

首先确定动力学优化模型的初始条件，包括机构的几何参数、结构参数、润滑间隙参数等，获取优化所需的目标函数、设计变量、约束条件，以及遗传算法的参数（种群数量30，迭代次数50，交叉值0.7，变异值0.6）。然后，初始化种群。

基于设定的设计变量及其约束条件，设定合适的初始数据种群数量。

种群中的每个个体代表一组设计变量的组合，将被编码并输入含润滑间隙的动力学模型中进行计算，以确定其适应度值和性能指标。

紧接着，建立转动副润滑间隙的矢量模型，计算潜在接触点的位置矢量，判断轴和轴承的相对位置关系，根据润滑间隙理论公式，计算润滑间隙运动副处的约束反力。

同时，求解机构动力学方程，计算系统的质量矩阵、约束雅可比矩阵、广义力矩阵并组装成系统方程，将系统方程降阶并求解得到广义坐标、广义速度和广义加速度。评价个体是优化过程中的关键步骤。计算种群中每个个体的适应度，并记录每一代进化中最好的个体适应度和平均适应度。

最后，根据遗传算法预设的选择策略，挑选出种群中适应度较大的个体，通过交叉和变异操作，不断生成新的个体，在每一代种群中找到具有最大适应度的个体，并记录它们在种群中的位置及对应的适应度，重复这个操作直到达到最大迭代次数（本文为50次）。

通过这一系统的优化流程，研究团队能够找到最佳的设计变量组合，使机构在满足功能需求的同时，具有更优的动力学特性。

特别值得注意的是，研究团队采用的遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化方法，适合处理含有多个变量、目标复杂且可能存在多个局部最优解的问题。

通过＂适者生存＂的原则，算法能够在解空间中进行全局搜索，避免陷入局部最优解，找到更接近全局最优的解决方案。

这种优化设计方法不仅适用于本文研究的七连杆机构，还可以推广到其他含有润滑间隙的机械系统，为提高机械设备的动态性能和使用寿命提供了新的途径。

通过合理设置目标函数、选择适当的设计变量和约束条件，结合高效的优化算法，可以使含转动副润滑间隙的机构获得更好的动力学特性，从而提高机构的精度、稳定性和可靠性。

成效与启示

理论研究的终极目标在于指导实践，山东科技大学的研究团队不仅建立了精确的数学模型，设计了高效的优化方法，还通过实验和数据分析验证了优化效果。

研究结果为含转动副润滑间隙的多连杆机构性能提升提供了实用价值。

为验证理论模型的合理性与分析结果的正确性，研究团队设计并搭建了含润滑间隙的七连杆机构试验平台（如图3所示）。

这个平台由机架、曲柄、连杆、滑块等部件组成，配备了驱动系统和测量装置。

在平台运转稳定后，研究团队选择了两个完整运动周期进行测量，确保数据的可靠性和代表性。

转动副间隙的实现是一个关键技术问题。

研究团队通过加工不同外径的轴来实现间隙控制。

如图4所示，理想轴的外径为12 mm，而通过采用外径为11.6（-0.011） mm的轴，实现了0.2 mm的间隙。

这种精确的间隙控制使得试验条件与理论模型相匹配，为验证工作奠定了基础。

图5展示了滑块加速度在不同条件下的对比结果。

当转动副安装间隙轴时，滑块加速度的试验结果和理论结果的最大值分别为-13.72 m/s²和4.366 m/s²。

通过对比采用理想轴和间隙轴时滑块的加速度曲线，发现二者的趋势基本一致，但存在一定偏差。

这是因为间隙使运动副内发生碰撞和振动，导致滑块加速度产生波动。

润滑作用减小了运动副内部较大的碰撞力和摩擦对机构的不良影响。

试验结果曲线存在明显波动，而理论结果曲线基本未出现波动。

振动峰值出现的时间和振动峰值大小都有差异，造成偏差的主要因素包括滑块与导轨之间的摩擦效应和驱动电机转动引起的试验台振动。

此外，试验台在加工、装配过程中产生的加工装配误差和加速度计的灵敏度误差也对试验结果造成一定的影响。

尽管存在这些差异，试验结果基本验证了理论结果的正确性，为后续优化工作提供了可靠依据。

在验证了理论模型后，研究团队将优化结果应用于动力学模型，并进行了详细的性能分析。

优化过程中的间隙取0.3mm，最终得到的设计变量优化值如表6所示。

当以滑块加速度的最大值为目标函数1时，连杆2的质量增加到397.52g，转动惯量增加到17.975×10⁻⁴kg·m²，而曲柄4的质量和滑块7的质量则减小，分别为103.91g和69.825g。

当以转动副间隙A、B处运动副元素之间的作用力最大值之和为目标函数2时，连杆2的质量减小到126.78g，转动惯量减小到96.731×10⁻⁵kg·m²，而曲柄4的质量和滑块7的质量则有所增加，分别为160.64g和73.186g。

优化效果的评价需要通过对比优化前后的动力学响应曲线。

如图6所示，考虑润滑间隙时，优化前的滑块位移曲线较为平缓、无波动。

经目标函数2优化后，滑块位移曲线峰值略大于优化前和目标函数1优化的峰值，最大峰值差在0.1mm左右。

三条位移曲线的总体趋势一致，说明采用这两个目标函数优化对机构输出构件的位移影响相对较小。

如图7所示，优化前的滑块速度曲线较为光滑，无突峰；滑块优化后的速度峰值均小于优化前的速度峰值，最大峰值差约为0.1mm/s。

通过观察发现，优化前后的滑块速度整体趋势一致，且三者之间的误差极小。

这表明在保证杆长、驱动速度等参数不变，将质量和转动惯量设为优化变量并将其变化设置在合理范围内时，采用这两个目标函数优化对机构输出构件的速度精度影响不大。

加速度性能的提升是本研究的亮点之一。

如图8所示，优化前的滑块加速度曲线在机构启动的短时间内存在小幅度突变，可能对机构产生冲击；之后，滑块加速度曲线变得平滑。

优化前，突变处加速度达到5.434m/s²；目标函数1优化后，曲线突变处的加速度减小到4.290m/s²，比优化前减小约25%；目标函数2优化后，曲线突变处的加速度为5.485m/s²，相比优化前增大0.15%。

这说明直接优化滑块加速度的最大值可显著减小加速度曲线突峰，使加速度曲线更加平稳；而优化转动副间隙处的运动副元素之间的作用力对机构输出构件的加速度大小影响不大。

转动副间隙处轴的中心运动轨迹曲线（图9）直观反映了轴在轴承中的运动状态。

优化前，轴的中心运动轨迹占据了较大的空间；经过优化后，轴的运动轨迹明显减小，特别是目标函数2优化后，轴的轨迹最小，这意味着间隙处转动副的运动状态更稳定，轴与轴承发生碰撞的可能性降低。作用力的变化更直接地反映了优化效果。

如图10所示，在机构启动后的0.8s内，间隙A处的运动副元素之间的作用力峰值由优化前的7.446N变为目标函数1优化后的8.383N和目标函数2优化后的6.345N，相比优化前减小14.8%，相比目标函数1优化减小24.3%。启动0.8s后，目标函数2优化的运动副元素间的作用力明显减小。

对于间隙B，启动后0.2s内的作用力峰值由优化前的13.26N变为目标函数1优化后的14.66N和目标函数2优化后的10.84N，相比优化前减小18.2%，相比目标函数1优化减小26%。

综合分析表明，以滑块加速度为目标的优化可有效减小加速度峰值，使机构运动更加平稳；而以运动副元素之间的作用力为目标的优化则显著减小了间隙处的作用力，提高了运动副的稳定性，同时对加速度性能的影响很小。

因此，以运动副元素之间的作用力为优化目标的方案综合效果更优，能够在保持加速度性能的同时，显著提高机构的动力学特性。

参考资料

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